5.10 확률변수들의 선형 결합(선형 변환)으로 생긴 확률변수의 확률밀도함수

다음은 기존의 확률변수 X, Y를 행렬 A \(\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\)를 이용하여 변환한 확률변수 U, V의 확률밀도 함수를 구하는 방법이다.

\(\begin{bmatrix} U \\ V \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X \\ Y \end{bmatrix}\)

\(f(x, y) = f(\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix})\)로부터 새로운 확률밀도 함수 \(g(u, v) = g(\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix})\)는 다음과 같이 구할 수 있다.

\(\begin{bmatrix} X \\ Y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} U \\ V \end{bmatrix}\)

위 관계식에 나온 A의 역행렬이 Jacobian matrix가 되며, 이 Jacobian matrix의 determinant를 J라 하면, 위 변환식을 \(f(x, y)\)에 대입하여 \(u, v\)에 대한 함수로 바꾼 다음 J의 절대값을 곱해주면 된다. 즉,

\(g(\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}) = f(A^{-1} \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}) \left| J \right|\)

뒤에 Jacobian matrix의 determinant의 절대값을 곱해주는 이유는, 변수변환에 의해 전체적분값이 1이 되지 않을 수 있기 때문에, 변환에 의한 면적비를 곱해주어서 전체적분값이 1이 되도록 해주는 것이다.

위의 관계식을 이용하여 앞의 두 확률변수의 합에 관한 정리들을 증명할 수도 있다.