7.6 단일군 평균, 비율 추정을 위한 표본 크기 계산

정규분포를 따르는 무한 모집단의 경우 오차한계(margin of error, bound on the error of estimation)를 B 이하로 하고자 하는 부등식은 다음과 같다.

\(z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} < B\)

이것을 B 이하로 만들기 위해서는 위 수식을 변형하면 다음과 같다.

\(n > (z_{\alpha/2} \sigma/B)^2 \approx 4 (\sigma/B)^2\)

모비율의 추정시 오차한계를 B 이하로 하기 위한 표본크기 공식은 다음과 같다.

\(n > p (1 - p) (z_{\alpha/2} / B)^2 \approx 4 p (1 - p) /B^2\)

위에서 표본크기를 보수적으로 하고 싶을 때는, p에 0.5를 대입하면 된다.

\(n > 1/B^2\)

유한 모집단에서 n명을 무작위로 뽑는 것을 단순 무작위 추출(simple random sampling, 단순 무작위 표집)이라고 부르지만, 엄밀하게는 개개 관찰(observation)이 서로 독립이 아니어서 무작위(random)가 아니다.

유한 모집단에서의 표본크기 계산에는 유한 모집단의 크기 N이 포함되며, 공식이 무한 모집단에 비해 복잡해진다.

참고로 그 공식은 다음과 같다.

\(n \geq \frac{N\sigma^2}{(N - 1)B^2/4 + \sigma^2}\)

위 식에서 N이 무한대가 되면, 공식은 무한 모집단의 경우와 같아진다.