5.4 결합 확률분포 (Joint Probability Distribution), f(x, y)

5.4.1 이산형 확률변수

\(f(x, y) = \begin{cases} P(X = x \wedge Y = y), & x=x_i, y=y_j \; (i, j = 1, 2, \cdots) \\ 0 & \text{else} \end{cases}\)

위의 \(\wedge\)는 논리적인 AND 를 의미한다. 그냥 쉼표(,)로만 표기된 경우가 많은데, 그러면 논리적인 OR과 혼동을 일으킬 수 있어서 여기서는 \(\wedge\)로 표시했다.

\(\begin{aligned} &0 \leq f(x, y) \leq 1 \\ &\sum_{i=1}^{\infty} \sum_{j=1}^{\infty} f(x_i, y_j) = 1 \\ &P(a < X \leq b \wedge c < Y \leq d) = \sum_{a < x_i \leq b} \sum_{c < y_j \leq d} f(x_i, y_j) \end{aligned}\)

이 경우 두 확률변수의 함수로 생성한 새로운 확률변수의 기대값은 다음과 같이 정의한다.

\(\begin{aligned} &E \left[ U(X, Y) \right] \equiv \sum_{i=1}^{\infty} \sum_{j=1}^{\infty} U(x_i, y_j) f(x_i, y_j) \end{aligned}\)

5.4.2 연속형 확률변수

\(\begin{aligned} &P(X=x \wedge Y=y) = 0 \\ &0 \leq f(x_i, y_j) < \infty \\ &\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) dy dx = 1 \\ &0 \leq P(a < X < b \wedge c < Y < d) = \int_a^b \int_c^d f(x, y) dy dx \leq 1 \end{aligned}\)

이 경우 두 확률변수의 함수로 생성한 새로운 확률변수의 기대값은 다음과 같이 정의한다.

\(\begin{aligned} &E \left[ U(X, Y) \right] \equiv \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} U(x, y) f(x, y) dy dx \end{aligned}\)

통계학에서는 적분의 순서를 바꾸어도 차이가 없는 경우를 다루며, 이것과 몇몇 조건들을 추가하여 regularity condition이라고 부른다. 통계학의 많은 정리(theorem)들은 regularity condition이 만족될 때 성립한다. 자세한 것은 이론통계 책들을 참고한다.