5.11 두 확률변수의 곱(XY)의 기대값

두 연속형 확률변수의 곱인 XY의 분산은 어떻게 계산할까?

분산의 정의와 기대값의 정의에 따르면 다음과 같고,

\(\begin{aligned} &V(XY) = E \left[ (XY - \mu_{XY})^2 \right] = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} (xy - \mu_{XY})^2 f(x, y) dy dx \\ &\mu_{XY} = E(XY) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} xy f(x, y) dy dx \end{aligned}\)

간편 공식을 쓰면 다음과 같다.

\(V(XY) = E(X^2Y^2) - E(XY)^2\)

독립이 아닌 경우을 감안한 일반적인 경우에 위를 더 푸는 것이 생각보다 상당히 복잡한데, 독립인 경우에는 다음과 같이 단순화된다.

\(\begin{array}{rl} V(XY) & = E(X^2) E(Y^2) - E(X)^2 E(Y)^2 \\ & = \left[ E(X)^2 + V(X) \right] \left[ E(Y)^2 + V(Y) \right] - E(X)^2 E(Y)^2 \\ & = E(X)^2 V(Y) + E(Y)^2 V(X) + V(X) V(Y) \end{array}\)

위에서 독립이 아닌 경우나, 두 확률변수의 나누기인 X/Y의 기대값과 분산 계산이 필요한 사람은 Mood, Graybill, Boes의 ‘Introduction to the Theory of Statistics’ 3판 p180~181을 참고할 수 있다.