5.8 두 확률변수의 독립 (Independency)

두 확률변수가 서로 독립이라는 것은 다음 조건을 만족할 때로 정의한다.

\(f(x, y) = f_1(x) f_2(y)\)

위의 \(f_1(x)\)와 \(f_2(y)\)는 각각 X와 Y의 marginal distribution function이다.

위에 따라서 독립인 경우 다음의 공식이 성립된다.

\(COV(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0\)

\(E(XY) = E(X)E(Y)\)

즉, 독립이면 공분산과 상관계수는 0이다. 하지만, 그 역이 항상 성립하는 것은 아니다. 즉, 공분산이나 상관계수가 0이더라도 독립은 아닐 수 있다.

만약 두 확률변수 X, Y가 독립이라면 앞의 공식을 단순화하여 다음의 공식이 성립한다.

\(V(X \pm Y) = V(X) + V(Y)\)