7.9 Regularity Condition

수리통계학(mathematical statistics) 교재를 보면 regularity condition이라는 용어를 간혹 보게 된다. Regularity condition 대신 regular case나 regular problem이라는 용어가 나올 때도 있으며, 이런 용어가 안 나오는 교재도 있다.

통계학에는 많은 정리(theorem)들이 있는데, regularity condition이란 어떤 정리가 성립하기 위한 조건을 의미한다. 따라서, 어느 정리이냐에 따라 regularity condition은 달라진다. 그런데, 이 조건은 대개 Lebesgue monotone convergence theorem, Fatou’s lemma, Lebesgue dominated convergence theorem, Fubini theorem, Radon-Nikodym theorem, Borel-Cantelli lemma 등 측도론(measure theory)에 나오는 정리(theorem)들이다.

공통적인 것 몇가지만 들면 다음과 같다.

1. 실수 또는 실수행렬 영역에서만 적용한다.
2. 어떤 함수(예를 들어, likelihood function)의 값이 모두 양수(positive)이다.
3. 편미분 또는 미분이 존재한다. 어떤 경우에는 2차 편미분까지 존재해야 한다.
4. 적분값이 발산하지 않는다.
5. 중적분(multiple integral)시에 적분의 순서를 바꾸어도 된다.
6. 미분과 적분의 순서를 바꾸어도 된다.
7. 역행렬이 존재해야 한다.

위 6번은 일반적인 것은 아니다. 일반적으로는 적분기호 바깥의 일반 미분은 적분기호 안으로 들어갔을 때 편미분으로 바뀐다. 인터넷에서 ’differentiation under integral sign’이라는 keyword로 찾아보면 Leibniz integral rule로 나온다.

위 7번을 필요로 하지 않는 것들도 있다.