5.14 연습문제

  1. 다음 수식들의 우변에서 \(X\), \(X_i\), \(Y\) 들은 확률변수이며, 나머지는 상수이다. 아래 식의 우변을 확률변수의 함수라고 할 수 있는가? 또한 좌변인 V, \(\bar{X}\), \(S^2\)를 확률변수라고 할 수 있는가?

\[V = a X + b Y + c\]

\[V = (X - \mu_X)(Y - \mu_Y)\]

\[\bar{X} = \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n}\]

\[S^2 = \frac{\sum_1^n (X_i - \bar{X})^2}{n - 1}\]

  1. 다음 결합밀도함수(joint density function)를 이용하여, 각각의 주변밀도함수(marginal density function)를 구하고, 두 확률변수가 독립인지 확인하여라.
  1. \(f(x, y) = e^{-x-y}\), \(0 < x < \infty\), \(0 < y < \infty\)
  2. \(f(x, y) = x + y\), \(0 < x < 1\), \(0 < y < 1\)

  1. 위 두 함수의 공분산(covariance)을 구하여라.

  2. \(X \sim N(10, 2^2)\), \(Y \sim N(20, 3^2)\) 이다. 다음의 문제를 공식을 이용해서 풀어 보시오.

  1. 두 확률변수가 독립일 때 X + Y, X - Y의 density를 X, Y의 density와 함께 하나의 plot에 나타내어라.
  2. 두 확률변수의 공분산이 5일 때 X + Y, X - Y의 density를 X, Y의 density와 함께 하나의 plot에 나타내어라.
  3. 두 확률변수의 공분산이 -5일 때 X + Y, X - Y의 density를 X, Y의 density와 함께 하나의 plot에 나타내어라.
  1. 위의 문제를 simulation으로 풀어 보시오. 참고로 난수 발생은 각 2,000개로 하며, density의 최대값은 0.25를 넘지 않는다. MASS::mvrnorm을 사용하면 편리하다.