7.2 모평균의 추정
모평균은 앞에서 정의한 표본평균 (\(\bar{X}\)) 으로 점추정한다. 그러면, 앞의 3가지 성질을 모두 가진다. 표준오차(SE)는 \(\sigma/\sqrt{n}\)이므로 이를 이용해서 신뢰구간을 구할 수 있다. 만약 \(\sigma\)를 모르는 경우에는 SE의 추정량으로 S를 사용하고, t 분포를 사용한다.
상대표준오차(relative standard error)는 SE를 평균(없는 경우 평균의 추정값)으로 나누어준 것이다.
7.2.1 구간추정
- \(X_i\) 들이 정규분포를 따르고 \(\sigma\)를 알 때 (이런 경우는 거의 없다)
\(\left( \bar{X} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{X} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)\)
- \(X_i\) 들이 정규분포를 따른다는 것은 알지만 \(\sigma\)를 모를 때 (정규분포를 따르는지 확신 할 수 없을 때도 많다)
\(\left( \bar{X} - t(n - 1, \alpha/2) \frac{S}{\sqrt{n}}, \bar{X} + t(n - 1, \alpha/2) \frac{S}{\sqrt{n}} \right)\)
- 표본크기(n)가 크고 \(\sigma\)를 알 때 (\(X_i\)들의 분포와 무관하게)
\(\left( \bar{X} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{X} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)\)
- 표본크기(n)가 크고 \(\sigma\)를 모를 때 (\(X_i\)들의 분포와 무관하게)
\(\left( \bar{X} - z_{\alpha/2} \frac{S}{\sqrt{n}}, \bar{X} + z_{\alpha/2} \frac{S}{\sqrt{n}} \right)\)
또는, 좀 더 보수적으로(conservatively) 하면 다음과 같다.
\(\left( \bar{X} - t(n - 1, \alpha/2) \frac{S}{\sqrt{n}}, \bar{X} + t(n - 1, \alpha/2) \frac{S}{\sqrt{n}} \right)\)
위에서 보수적으로라는 것은 신뢰구간이 넓어지고, 귀무가설을 기각하기 어려워 진다는 뜻이다.