5.9 두 확률변수의 합 (X + Y)의 기대값과 분산

\(E(aX + bY + c) = aE(X) + bE(Y) + c\)

[증명] 연속형의 경우 (이산형은 이와 매우 유사하므로 생략)

\(\begin{array} {rl} E(aX + bY + c) & = \iint (ax + by + c) f(x, y) dx dy \\ & = a \iint x f(x, y) dx dy + b \iint y f(x, y) dx dy + c \iint f(x, y) dx dy \\ & = a E(X) + b E(Y) + c \end{array}\)

\(V(aX + bY + c) = a^2 V(X) + b^2 V(Y) + 2ab COV(X, Y)\)

[증명] 이 경우에는 연속형과 이산형을 따로 할 필요가 없다.

\(\begin{array} {rl} V(aX + bY + c) & = E \left[ \{ (ax + by + c) - (a\mu_X + b\mu_Y + c) \}^2 \right] \\ & = E \left[ a^2 (x - \mu_X)^2 \right] + E \left[ b^2 (y - \mu_Y)^2 \right] + E \left[ 2 a b (x - \mu_X) (y - \mu_Y) \right] \\ & = a^2 V(X) + b^2 V(Y) + 2ab COV(X, Y) \end{array}\)

위의 두 정리만 잘 이용하면 기초통계에 나오는 대다수의 공식을 증명하거나 이해할 수 있다.