9.2 행렬식(determinant)의 성질

참고: 김정수 등. 미적분학. 이우출판사. 1986.

정리: 임의의 n x n 행렬 A에 대하여 다음 성질을 만족하는 수를 대응시킬 수 있다. 이 수를 D(A) 또는 \(D(A^1, \cdots, A^n)\)로 나타내고 A의 행렬식이라 한다. 여기서 \(A^i\)는 A의 i번째 열벡터이다.

성질1: D를 각 열벡터에 대한 함수로 볼 때 D는 선형이다.

즉, j번째 열벡터 \(A^j\)가 \(A^j\) = C1 + C2이면

\[D(A^1, \cdots , C1 + C2, \cdots , A^n) = D(A^1, \cdots , C1, \cdots ,A^n) + D(A^1, \cdots , C2, \cdots ,A^n)\]

이고, 임의의 수 t에 대하여

\[D(A^1, \cdots , tA^j, \cdots , A^n) = tD(A^1, \cdots , A^j, \cdots , A^n), \quad j = 1, 2, \cdots , n\]

이다.

성질2: 이웃한 두 열이 같으면 행렬식의 값은 0이다.

성질3: I가 단위행렬이면 D(I) = 1 이다.

위의 세 성질을 만족하는 행렬식은 일의적으로 결정된다.

성질4: 두 열을 서로 바꾸면 행렬식은 부호가 바뀐다. (성질1을 이용해서 증명가능)

성질5: 서로 다른 두 열이 같으면 행렬식의 값은 0이다. (성질 2를 이용하여 증명가능)

성질6: 어떤 열을 상수배하여 다른 열에 합하여도 행렬식은 불변이다. (성질1과 5를 이용)