9.3 Cramer 공식

정리: \(A^1, \cdots , A^n\)을 \(D(A^1, \cdots , A^n) \ne 0\) 인 n차원 열벡터라고 한다. n차원 열벡터 B에 대하여 \(x_1, \cdots , x_n\)가 \[x_1A^1 + \cdots + x_nA^n = B\] 를 만족하면 \[x_j = \frac{D(A^1, \cdots , A^{j-1}, B, A^{j+1}, \cdots ,A^n)}{D(A^1, \cdots, A^n)}, \quad j = 1, 2, \cdots , n\]

(증명은 B를 x를 포함한 식으로 바꾸어 쓰고 앞 절의 성질 1과 5를 적용한다.)

예제: 다음 연립1차 방정식을 풀어라. \[\begin{align*} x + 4y + 7z &= 6 \\ 2x + 5y + 8z &= 6 \\ 3x + 7y + 9z &= 6 \end{align*}\]

풀이:

\[x =\frac{\begin{vmatrix} 6 & 4 & 7 \\ 6 & 5 & 8 \\ 6 & 7 & 9 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 7 & 9 \end{vmatrix}} \quad y = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 6 & 7 \\ 2 & 6 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 7 & 9 \end{vmatrix}} \quad z = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 4 & 6 \\ 2 & 5 & 6 \\ 3 & 7 & 6 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 7 & 9 \end{vmatrix}}\]