4.7 Jacobian Matrix

변수변환뒤 적분값을 같게 해주기 위해서는 Jacobian matrix의 determinant의 절대값을 곱해주어야 한다.

일차원의 예: 곡선의 길이, 일(Work)의 양

\[\int_{t_{1}}^{t_{2}}{f(u(t))}\frac{du}{dt}dt\]

이차원의 예: 면적

\[\iint_{R}^{}{f(G(u,v)) \left| \Delta_{G}(u,v) \right| dudv} = \iint_{G(R)}^{}{f(x,y)dydx}\]

\[\Delta_{G}(u,v) = \left| \begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{matrix} \right|\]

\[x = g_{1}(u,v), \quad y = g_{2}(u,v)\]

부피와 같은 삼차원도 마찬가지이다.