4.5 Integration using Partial Fraction

\(\frac{f(x)}{g(x)}\) 형태의 함수를 유리함수(rational function)라 한다. 분자의 차수가 클 때는 정수계수 함수부분(몫, h(x))을 분리하여 분자의 차수가 작아지도록 한다.

\[\frac{f(x)}{g(x)} = h(x) + \frac{f_{1}(x)}{g(x)}\]

따라서, 여기에서는 분자의 차수가 작은 경우만 설명한다.

이런 함수는 다음과 같이 부분분수(partial fraction)으로 분리하여 분자의 차수가 분모의 차수보다 낮거나 1차 이하가 되도록 차수를 낮춘다. 즉 다음과 같은 형태들만 나오도록 하고 계수는 미정계수법(equate and solve for the undetermined coefficients)으로 맞춘다.

\(\frac{b}{x - a}\), \(\frac{b}{(x - a)^{n}}\) \(\frac{c}{x^{2} + ax + b}\), \(\frac{cx + d}{(x^{2} + ax + b)^{n}}\)

이를 일반화하여 표현하면 다음과 같다.

\[\frac{c_{1}}{x - \alpha} + \frac{c_{2}}{(x - \alpha)^{2}} + \cdots + \frac{c_{n}}{(x - \alpha)^{n}} + \frac{d_{1} + e_{1}x}{(x - \beta)^{2} + \gamma^{2}} + \cdots + \frac{d_{m} + e_{m}x}{\{(x - \beta)^{2} + \gamma^{2}\}^{m}} + \cdots\]

여기서 \(c_1, \cdots, c_n , d_1, \cdots, d_n\) 등은 적당한 상수이다.

Case 1: \(\frac{1}{(x - a)^{n}}\)

\(n = 1\) 일때 \(\int_{}^{}\frac{1}{x - a}dx = \log(x - a)\) or \(\ln \left| x - a \right|\)

\(n \neq 1\) 일 때 \(\int_{}^{}\frac{1}{(x - a)^{n}}dx = \frac{1}{- n + 1}(x - a)^{- n + 1}\)

Case 2: \(\frac{1}{(x^{2} + b^{2})^{n}}\)

\(x = bz\) 로 치환하면 \(\int_{}^{}\frac{1}{(x^{2} + 1)^{n}}dx\) 형태로 바뀐다.

\(n = 1\) 일 때는 arctan(x) 또는 tan^-1(x) 이다.

\(n > 1\) 일 때는 부분적분법을 써서 점화식을 유도하면 다음과 같다 (과정은 서울대학교 미적분학 교재 95-96쪽 참고)

\[\int_{}^{}\frac{1}{(x^{2} + 1)^{n}}dx = \frac{1}{2(n - 1)} \frac{x}{(x^{2} + 1)^{n - 1}} + \frac{2n - 3}{2(n - 1)} \int_{}^{} \frac{1}{(x^{2} + 1)^{n - 1}} dx\]

분모의 차수가 1이 될 때까지 위 점화식을 반복한다.

Case 3: \(\frac{x}{(x^{2} + b^{2})^{n}}\)

\[\int_{}^{}\frac{x}{(x^{2} + b^{2})^{n}}dx = \begin{cases} \frac{1}{2}\log(x^{2} + b^{2}) & \quad (n = 1) \\ \frac{1}{2(-n + 1)} \frac{1}{(x^{2} + b^{2})^{n - 1}} & \quad (n \neq 1) \end{cases}\]

실제 의학 문제에서는 대부분 가장 단순한 형태를 사용한다.

See Gibaldi p467 eq G.16, G.21, p427-9 eq B.1 - B.12