9.2 행렬식(determinant)의 성질
참고: 김정수 등. 미적분학. 이우출판사. 1986.
정리: 임의의 n x n 행렬 A에 대하여 다음 성질을 만족하는 수를 대응시킬 수 있다. 이 수를 D(A) 또는 D(A1,⋯,An)로 나타내고 A의 행렬식이라 한다. 여기서 Ai는 A의 i번째 열벡터이다.
성질1: D를 각 열벡터에 대한 함수로 볼 때 D는 선형이다.
즉, j번째 열벡터 Aj가 Aj = C1 + C2이면
D(A1,⋯,C1+C2,⋯,An)=D(A1,⋯,C1,⋯,An)+D(A1,⋯,C2,⋯,An)
이고, 임의의 수 t에 대하여
D(A1,⋯,tAj,⋯,An)=tD(A1,⋯,Aj,⋯,An),j=1,2,⋯,n
이다.
성질2: 이웃한 두 열이 같으면 행렬식의 값은 0이다.
성질3: I가 단위행렬이면 D(I) = 1 이다.
위의 세 성질을 만족하는 행렬식은 일의적으로 결정된다.
성질4: 두 열을 서로 바꾸면 행렬식은 부호가 바뀐다. (성질1을 이용해서 증명가능)
성질5: 서로 다른 두 열이 같으면 행렬식의 값은 0이다. (성질 2를 이용하여 증명가능)
성질6: 어떤 열을 상수배하여 다른 열에 합하여도 행렬식은 불변이다. (성질1과 5를 이용)